Trong lĩnh vực hình học và tổ hợp, việc xác định số giao điểm tối đa có thể tạo ra bởi một tập hợp các đường thẳng luôn là một bài toán thú vị. Đặc biệt, khi xét đến 10 đường thẳng phân biệt, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để sắp xếp chúng sao cho số điểm giao nhau là nhiều nhất. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và đưa ra lời giải chi tiết cho bài toán này, đồng thời cung cấp kiến thức nền tảng về tổ hợp.
Phân tích bài toán
Để đạt được số giao điểm tối đa, mỗi cặp đường thẳng trong số 10 đường thẳng phân biệt phải cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điều này có nghĩa là không có hai đường thẳng nào song song với nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy tại cùng một điểm.
Số giao điểm tối đa của (n) đường thẳng phân biệt có thể được tính bằng công thức tổ hợp chập 2 của (n), ký hiệu là (C(n, 2)) hoặc (binom{n}{2}). Công thức này xuất phát từ việc mỗi giao điểm được tạo ra bởi sự cắt nhau của đúng hai đường thẳng. Do đó, chúng ta cần chọn ra 2 đường thẳng từ (n) đường thẳng để tạo thành một giao điểm.
Công thức tính số tổ hợp chập (k) của (n) phần tử là:
$$C(n, k) = binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Áp dụng vào bài toán này, với (n = 10) (số đường thẳng) và (k = 2) (số đường thẳng tạo thành một giao điểm), ta có:
$$C(10, 2) = binom{10}{2} = frac{10!}{2!(10-2)!} = frac{10!}{2!8!} = frac{10 times 9}{2 times 1} = 45$$
Lời giải chi tiết
Dựa trên phân tích trên, số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là 45.
- Bước 1: Xác định yêu cầu của bài toán: tìm số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt. Điều kiện để đạt được số giao điểm tối đa là mọi cặp đường thẳng phải cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy.
- Bước 2: Áp dụng nguyên tắc tổ hợp: mỗi giao điểm được tạo thành bởi sự kết hợp của 2 đường thẳng. Số cách chọn 2 đường thẳng từ 10 đường thẳng là (C(10, 2)).
- Bước 3: Tính toán:
$$C(10, 2) = frac{10 times 9}{2} = 45$$
Do đó, số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là 45.
Kết luận
Bài toán về số giao điểm tối đa của các đường thẳng là một ví dụ điển hình cho việc ứng dụng các khái niệm trong tổ hợp để giải quyết các vấn đề trong hình học. Với 10 đường thẳng phân biệt, số giao điểm tối đa có thể đạt được là 45, dựa trên nguyên tắc mỗi cặp đường thẳng tạo thành một giao điểm duy nhất. Việc hiểu rõ công thức tổ hợp chập 2 giúp chúng ta giải quyết nhanh chóng và chính xác dạng bài toán này.
Các lựa chọn:
A. 50
B. 100
C. 120
D. 45
Đáp án đúng là D.
