Số hữu tỉ, một khái niệm quan trọng trong toán học, có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hiểu rõ bản chất và cách chuyển đổi giữa hai dạng biểu diễn này là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, phương pháp giải các dạng toán thường gặp và cung cấp kiến thức cần thiết để bạn làm chủ chủ đề này.
I. Các Kiến Thức Cần Nhớ
1. Số Thập Phân Hữu Hạn
Một phân số tối giản với mẫu dương có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu mẫu của nó chỉ chứa các ước nguyên tố là 2 và 5. Điều này có nghĩa là mẫu số chỉ có thể phân tích thành dạng $2^m cdot 5^n$, trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên.
Ví dụ:
- Phân số $dfrac{1}{4}$ có mẫu là $4 = 2^2$. Do mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2, nên phân số này có thể viết dưới dạng số thập phân hữu hạn: $dfrac{1}{4} = 0,25$.
- Tương tự, với $dfrac{13}{50}$, mẫu số là $50 = 2 cdot 5^2$. Mẫu chỉ có các ước nguyên tố là 2 và 5, vì vậy $dfrac{13}{50} = 0,26$.
2. Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn
Ngược lại, nếu mẫu của một phân số tối giản (với mẫu dương) chứa ít nhất một ước nguyên tố khác 2 hoặc 5, thì phân số đó sẽ được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số thập phân này bao gồm một phần lặp lại vô hạn được gọi là chu kỳ.
Ví dụ:
- Phân số $-dfrac{5}{6}$ có mẫu là $6 = 2 cdot 3$. Do mẫu có ước nguyên tố 3 (khác 2 và 5), nên phân số này là số thập phân vô hạn tuần hoàn: $-dfrac{5}{6} = -0,8333… = -0,8left(3right)$. Chu kỳ ở đây là 3.
- Phân số $dfrac{1}{9}$ có mẫu là $9 = 3^2$. Mẫu chỉ có ước nguyên tố là 3, do đó $dfrac{1}{9} = 0,111… = 0,left(1right)$. Chu kỳ là 1.
Phân tích thêm ví dụ:
- Phân số $dfrac{3}{20}$: Mẫu số $20 = 2^2 cdot 5$. Chỉ có các ước nguyên tố là 2 và 5, nên $dfrac{3}{20}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $dfrac{3}{20} = 0,15$.
- Phân số $dfrac{7}{30}$: Mẫu số $30 = 2 cdot 3 cdot 5$. Có ước nguyên tố 3 (khác 2 và 5), nên $dfrac{7}{30}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: $dfrac{7}{30} = 0,2333… = 0,2left(3right)$.
Mối quan hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân: Mỗi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn đều biểu diễn một số hữu tỉ.
II. Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Nhận Biết Phân Số Viết Được Dưới Dạng Số Thập Phân Hữu Hạn hoặc Vô Hạn Tuần Hoàn
Phương pháp:
- Tối giản phân số: Đưa phân số về dạng tối giản với mẫu số dương.
- Phân tích mẫu số: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố.
- Kiểm tra ước nguyên tố:
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5, phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
- Nếu mẫu có ước nguyên tố khác 2 hoặc 5, phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Dạng 2: Viết Phân Số hoặc Tỉ Số Dưới Dạng Số Thập Phân
Phương pháp:
Để chuyển một phân số $dfrac{a}{b}$ sang dạng số thập phân, ta thực hiện phép chia $a:b$.
Dạng 3: Viết Số Thập Phân Hữu Hạn Dưới Dạng Phân Số Tối Giản
Phương pháp:
- Tạo phân số: Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số. Tử số là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập phân của số đó. Mẫu số là một lũy thừa của 10, với số mũ bằng số chữ số ở phần thập phân.
- Rút gọn: Rút gọn phân số vừa tạo được về dạng tối giản.
Ví dụ: Chuyển $1,25$ sang phân số.
- Ta có: $1,25 = dfrac{125}{10^2} = dfrac{125}{100}$.
- Rút gọn: $dfrac{125}{100} = dfrac{5 cdot 25}{4 cdot 25} = dfrac{5}{4}$.
Dạng 4: Viết Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn Dưới Dạng Phân Số Tối Giản
Để giải dạng toán này, chúng ta cần phân biệt hai loại số thập phân vô hạn tuần hoàn:
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn: Chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Ví dụ: $0,left(21right); 5,left(123right)$.
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp: Chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Phần thập phân đứng trước chu kỳ được gọi là phần bất thường. Ví dụ: $1,5left(31right); 0,01left(123right)$.
Cách chuyển đổi:
-
Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn:
- $0,left(aright) = dfrac{a}{9}$
- $0,left(abright) = dfrac{ab}{99}$
- Và tiếp tục với quy luật tương tự, số chữ số 9 ở mẫu bằng số chữ số trong chu kỳ.
Ví dụ:
- Chuyển $0,left(3right)$ sang phân số: $0,left(3right) = dfrac{3}{9} = dfrac{1}{3}$.
- Chuyển $0,left(25right)$ sang phân số: $0,left(25right) = dfrac{25}{99}$.
-
Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp:
- Tử số: Lấy số tạo bởi phần bất thường và chu kỳ, sau đó trừ đi phần bất thường.
- Mẫu số: Là một số gồm các chữ số 9 theo sau bởi các chữ số 0. Số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kỳ, và số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.
Ví dụ: Chuyển $0,1left(6right)$ sang phân số.
- Phần bất thường là 1, chu kỳ là 6.
- Tử số: $16 – 1 = 15$.
- Mẫu số: Có 1 chữ số trong chu kỳ (số 6) nên có 1 chữ số 9. Có 1 chữ số ở phần bất thường (số 1) nên có 1 chữ số 0. Mẫu số là 90.
- Vậy: $0,1left(6right) = dfrac{15}{90} = dfrac{1}{6}$.
Lưu ý quan trọng:
Nếu số thập phân có cả phần nguyên và phần thập phân, ta nên chuyển phần thập phân trước rồi cộng với phần nguyên.
Ví dụ: Chuyển $5,3left(18right)$ sang phân số.
- Trước hết, chuyển phần thập phân $0,3left(18right)$:
- Phần bất thường là 3, chu kỳ là 18.
- Tử số: $318 – 3 = 315$.
- Mẫu số: Có 2 chữ số trong chu kỳ (18) nên có 2 chữ số 9. Có 1 chữ số ở phần bất thường (3) nên có 1 chữ số 0. Mẫu số là 990.
- Vậy: $0,3left(18right) = dfrac{315}{990} = dfrac{7}{22}$.
- Do đó: $5,3left(18right) = 5 + 0,3left(18right) = 5 + dfrac{7}{22} = dfrac{110}{22} + dfrac{7}{22} = dfrac{117}{22}$.
Dạng 5: Thực Hiện Phép Tính và Tìm x Liên Quan Đến Các Số Thập Phân
Phương pháp:
- Chuyển đổi: Viết tất cả các số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn) về dạng phân số tối giản theo các quy tắc đã học.
- Thực hiện phép tính: Tiến hành các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với các phân số.
- Tìm x: Nếu bài toán yêu cầu tìm $x$, sau khi thực hiện các phép tính, đưa về dạng tìm $x$ đã biết đối với các phương trình hoặc biểu thức chứa phân số.
