Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD với cạnh đáy bằng $a$ và góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^circ$. Đây là một dạng bài tập cơ bản trong chương trình hình học không gian, đòi hỏi sự hiểu biết về các khái niệm cơ bản như chóp đều, mặt phẳng đáy, cạnh bên, và cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
I. Phân tích bài toán và phương pháp giải
1. Phân tích bài toán
- Đối tượng: Khối chóp tứ giác đều S.ABCD.
- Thông số đã cho:
- Cạnh đáy: $a$.
- Góc giữa cạnh bên (ví dụ SA) và mặt phẳng đáy (ABCD): $60^circ$.
- Yêu cầu: Tính thể tích khối chóp.
2. Công thức tính thể tích khối chóp
Thể tích khối chóp được tính bằng công thức:
$V = frac{1}{3} times S_{đáy} times h$
trong đó:
- $V$ là thể tích khối chóp.
- $S_{đáy}$ là diện tích mặt đáy.
- $h$ là chiều cao của khối chóp.
3. Xác định các yếu tố cần thiết
- Diện tích mặt đáy ($S_{đáy}$): Vì ABCD là hình vuông có cạnh $a$, nên $S_{đáy} = a^2$.
- Chiều cao ($h$): Chiều cao của khối chóp tứ giác đều là đoạn thẳng nối đỉnh S với tâm của mặt đáy. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, thì $h = SO$.
Để tìm $h = SO$, ta cần sử dụng thông tin về góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
4. Sử dụng thông tin góc để tìm chiều cao
- Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong hình chóp tứ giác đều, đỉnh S nằm ngay phía trên tâm O của đáy. Do đó, $SO$ là chiều cao của khối chóp và $SO perp (ABCD)$.
- Xét cạnh bên SA. Hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy (ABCD) là đoạn thẳng AO (vì $SO perp AO$).
- Góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABCD) chính là góc giữa SA và hình chiếu của nó trên mặt đáy, tức là góc $angle SAO$. Theo đề bài, $angle SAO = 60^circ$.
- Trong tam giác vuông SAO, ta có: $tan(angle SAO) = frac{SO}{AO}$.
- Ta cần xác định độ dài AO. Vì ABCD là hình vuông cạnh $a$, đường chéo AC có độ dài là $asqrt{2}$. Tâm O là trung điểm của đường chéo AC, nên $AO = frac{1}{2} AC = frac{asqrt{2}}{2}$.
- Từ đó, ta có thể tính SO: $SO = AO times tan(60^circ) = frac{asqrt{2}}{2} times sqrt{3} = frac{asqrt{6}}{2}$.
II. Tính thể tích khối chóp
Bây giờ, chúng ta đã có đủ các yếu tố cần thiết để tính thể tích:
- $S_{đáy} = a^2$
- $h = SO = frac{asqrt{6}}{2}$
Áp dụng công thức tính thể tích:
$V = frac{1}{3} times S_{đáy} times h = frac{1}{3} times a^2 times frac{asqrt{6}}{2} = frac{a^3sqrt{6}}{6}$
So sánh với các đáp án:
A. $a^3sqrt{6}$
B. $a^3sqrt{6}/3$
C. $a^3sqrt{6}/6$
D. $a^3sqrt{6}/2$
Kết quả tính toán khớp với Đáp án C.
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
III. Kết luận
Thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD với cạnh đáy bằng $a$ và góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^circ$ là $frac{a^3sqrt{6}}{6}$. Kết quả này đạt được thông qua việc xác định diện tích đáy và chiều cao của khối chóp, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
