Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải phương trình lượng giác $$sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}$$ và xác định số nghiệm trên đoạn $[0, pi]$. Chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp: giải bằng đại số và sử dụng đồ thị hàm số, giúp bạn hiểu rõ bản chất và cách tiếp cận bài toán một cách hiệu quả.
I. Phân tích bài toán và phương pháp tiếp cận
Phương trình lượng giác là một dạng toán quen thuộc trong chương trình toán học, đòi hỏi sự hiểu biết về các hàm số lượng giác và cách biến đổi chúng. Bài toán yêu cầu tìm số nghiệm của phương trình $$sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}$$ trong một khoảng xác định, cụ thể là từ 0 đến $pi$. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp đại số: Sử dụng các công thức lượng giác, quy tắc giải phương trình để tìm nghiệm.
- Phương pháp đồ thị: Sử dụng đồ thị của hàm số lượng giác để hình dung và xác định số nghiệm.
Cả hai phương pháp đều có ưu điểm riêng và khi kết hợp, chúng ta có thể có cái nhìn toàn diện và chính xác nhất về bài toán.
II. Giải phương trình bằng phương pháp đại số
Để giải phương trình $$sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}$$ bằng phương pháp đại số, chúng ta thực hiện các bước sau:
-
Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:
Ta nhận thấy $$frac{{sqrt 2 }}{2}$$ là giá trị đặc biệt của hàm sin, cụ thể $$sin frac{pi }{4} = frac{{sqrt 2 }}{2}$$. Do đó, phương trình có thể viết lại như sau:
$$sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = sin frac{pi }{4}$$ -
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin(u) = sin(v):
Công thức nghiệm của phương trình này là:
$$u = v + k2pi quad text{hoặc} quad u = pi – v + k2pi$$
Với $u = x + frac{pi }{4}$ và $v = frac{pi }{4}$, ta có:
$$left[ begin{array}{l}x + frac{pi }{4} = frac{pi }{4} + k2pi x + frac{pi }{4} = pi – frac{pi }{4} + k2pi end{array} right.$$
với $k in mathbb{Z}$. -
Rút gọn và tìm nghiệm tổng quát:
Từ hệ phương trình trên, ta rút gọn để tìm nghiệm tổng quát cho x:
$$left[ begin{array}{l}x = k2pi quad (1) x = frac{pi }{2} + k2pi quad (2) end{array} right.$$ -
Tìm nghiệm trong khoảng xác định [0, π]:
Bây giờ, chúng ta cần xác định các giá trị của k sao cho nghiệm x nằm trong khoảng $[0, pi]$.-
Xét nghiệm (1): $x = k2pi$
Ta có điều kiện: $0 le k2pi le pi$
Chia cả hai vế cho $2pi$: $0 le k le frac{1}{2}$
Vì k là số nguyên ($mathbb{Z}$), nên giá trị duy nhất của k thỏa mãn là $k = 0$. Khi đó, ta có nghiệm $x = 0$. -
Xét nghiệm (2): $x = frac{pi }{2} + k2pi$
Ta có điều kiện: $0 le frac{pi }{2} + k2pi le pi$
Chia cả hai vế cho $pi$: $0 le frac{1}{2} + 2k le 1$
Trừ $frac{1}{2}$ cho cả ba vế: $-frac{1}{2} le 2k le frac{1}{2}$
Chia cả hai vế cho 2: $-frac{1}{4} le k le frac{1}{4}$
Vì k là số nguyên ($mathbb{Z}$), nên giá trị duy nhất của k thỏa mãn là $k = 0$. Khi đó, ta có nghiệm $x = frac{pi }{2}$.
-
Qua phương pháp đại số, chúng ta tìm được hai nghiệm của phương trình trong khoảng $[0, pi]$ là $x = 0$ và $x = frac{pi }{2}$.
III. Giải phương trình bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp đồ thị cung cấp một cách trực quan để xác định số nghiệm của phương trình lượng giác.
-
Đặt ẩn phụ:
Đặt $alpha = x + frac{pi }{4}$. Khi đó, phương trình trở thành:
$$sin alpha = frac{{sqrt 2 }}{2}$$ -
Xác định khoảng của biến mới:
Vì $x in [0, pi]$, ta có:
$0 le x le pi$
Thêm $frac{pi }{4}$ vào tất cả các vế:
$0 + frac{pi }{4} le x + frac{pi }{4} le pi + frac{pi }{4}$
$$frac{pi }{4} le alpha le frac{{5pi }}{4}$$
Vậy, chúng ta cần tìm nghiệm của $sin alpha = frac{{sqrt 2 }}{2}$ trong khoảng $[frac{pi }{4}, frac{{5pi }}{4}]$. -
Vẽ đồ thị và xác định giao điểm:
Xét đồ thị hàm số $y = sin alpha$ và đường thẳng $y = frac{{sqrt 2 }}{2}$ trên khoảng đã xác định.
Đường thẳng $y = frac{{sqrt 2 }}{2}$ là một đường thẳng nằm ngang.
Ta biết rằng $sin alpha = frac{{sqrt 2 }}{2}$ có các nghiệm cơ bản là $alpha = frac{pi }{4}$ và $alpha = frac{3pi }{4}$.
Trong khoảng $[frac{pi }{4}, frac{{5pi }}{4}]$, hai giá trị này đều nằm trong khoảng.- $alpha_1 = frac{pi }{4}$
- $alpha_2 = frac{3pi }{4}$
-
Tìm lại giá trị của x:
Sử dụng mối quan hệ $alpha = x + frac{pi }{4}$:- Với $alpha_1 = frac{pi }{4}$:
$frac{pi }{4} = x_1 + frac{pi }{4} implies x_1 = 0$ - Với $alpha_2 = frac{3pi }{4}$:
$frac{3pi }{4} = x_2 + frac{pi }{4} implies x_2 = frac{3pi }{4} – frac{pi }{4} = frac{{2pi }}{4} = frac{pi }{2}$
Cả hai giá trị $x_1 = 0$ và $x_2 = frac{pi }{2}$ đều nằm trong khoảng $[0, pi]$.
- Với $alpha_1 = frac{pi }{4}$:
Sử dụng đồ thị, chúng ta cũng xác định được hai nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho.
IV. Kết luận
Qua cả hai phương pháp giải bằng đại số và sử dụng đồ thị, chúng ta đều đi đến kết luận rằng phương trình $$sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}$$ có hai nghiệm trên đoạn $[0, pi]$. Các nghiệm đó là $x=0$ và $x=frac{pi}{2}$.
Việc hiểu rõ cả hai phương pháp không chỉ giúp bạn giải quyết bài toán này mà còn trang bị cho bạn công cụ để giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp hơn trong tương lai.
Nguồn tham khảo: VietJack
