Hình lăng trụ là một khối đa diện với hai mặt đáy là hai đa giác song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng, phân loại các dạng lăng trụ phổ biến và xem xét các ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn đọc nắm vững kiến thức về chủ đề này.
I. Thể Tích Khối Lăng Trụ Đứng
Thể tích của một khối lăng trụ đứng được tính bằng công thức:
V = B * h
Trong đó:
Vlà thể tích khối lăng trụ (đơn vị mét khối – m³).Blà diện tích của mặt đáy (đơn vị mét vuông – m²).hlà chiều cao của khối lăng trụ (đơn vị mét – m).
Công thức này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xác định đúng diện tích đáy và chiều cao để có thể tính toán chính xác thể tích.
II. Phân Loại Hình Lăng Trụ
1. Hình Lăng Trụ Đều
Hình lăng trụ đều là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có mặt đáy là một đa giác đều. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau.
Hình lăng trụ tam giác đều
Khi mặt đáy là hình tứ giác đều, ta có hình lăng trụ tứ giác đều.
Hình lăng trụ tứ giác đều
2. Hình Lăng Trụ Đứng Tam Giác
Hình lăng trụ đứng tam giác bao gồm 5 mặt (2 mặt đáy tam giác và 3 mặt bên hình chữ nhật), 9 cạnh và 6 đỉnh. Hai mặt đáy của nó là hai tam giác song song và bằng nhau, mỗi mặt bên là một hình chữ nhật. Các cạnh bên có độ dài bằng nhau và chính là chiều cao của hình lăng trụ.
Ví dụ, hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh đáy là AB, BC, CA và A’B’, B’C’, C’A’; các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Chiều cao của nó là độ dài của một trong các cạnh bên này.
Hình lăng trụ đứng tam giác
3. Hình Lăng Trụ Đứng Tứ Giác
Hình lăng trụ đứng tứ giác có 6 mặt (2 mặt đáy tứ giác và 4 mặt bên hình chữ nhật), 12 cạnh và 8 đỉnh. Tương tự như lăng trụ đứng tam giác, hai mặt đáy là hai tứ giác song song và bằng nhau, các mặt bên là hình chữ nhật và các cạnh bên bằng nhau, đóng vai trò là chiều cao.
Hình lăng trụ đứng tứ giác
Điều đáng chú ý là hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng được xem là các trường hợp của hình lăng trụ đứng tứ giác.
Hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng là lăng trụ đứng tứ giác.
4. Hình Lăng Trụ Đứng
Đặc điểm nhận dạng của hình lăng trụ đứng là các cạnh bên của nó luôn vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng
Như đã đề cập, nếu mặt đáy là hình chữ nhật, hình lăng trụ đứng đó được gọi là hình hộp chữ nhật. Nếu tất cả 12 cạnh của hình lăng trụ đứng tứ giác có độ dài bằng nhau, đó sẽ là hình lập phương.
So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
| ĐỊNH NGHĨA: | TÍNH CHẤT |
|---|---|
| + Hình lăng trụ đứng: Có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. | + Mặt bên là hình chữ nhật. + Mặt bên vuông góc với mặt đáy. + Chiều cao bằng độ dài cạnh bên. |
| + Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. | + Mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau. + Chiều cao bằng độ dài cạnh bên. |
III. Ví Dụ Minh Họa Tính Thể Tích Khối Lăng Trụ Đứng
Ví dụ 1: Tính thể tích hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với đáy ABC là tam giác đều cạnh a = 2 cm và chiều cao h = 3 cm.
Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều
- Diện tích đáy tam giác đều:
B = (a² * √3) / 4 = (2² * √3) / 4 = √3 cm² - Thể tích khối lăng trụ:
V = B * h = √3 * 3 = 3√3 cm³
Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ với các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’ = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’.
Cho hình hộp đứng
- Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật, ta có diện tích đáy ABCD là
B = AB * AD = 3a * 2a = 6a². - Chiều cao của hình hộp là
h = AA' = 2a. - Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là
V = B * h = 6a² * 2a = 12a³. - Thể tích khối A’.ACD’ bằng một nửa thể tích khối hộp.
Ví dụ 3: Tính thể tích khối chóp M.A’B’C’ trong hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa mặt bên ABB’A’ và đáy là 60º, M là trung điểm BB’.
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
- Do đó, chiều cao hình lăng trụ
h = BB' = AB * tan(60º) = a√3 * √3 = 3a. - Diện tích đáy tam giác đều:
B = ((a√3)² * √3) / 4 = (3a² * √3) / 4. - Thể tích khối lăng trụ:
V_lăng_trụ = B * h = (3a² * √3) / 4 * 3a = 9a³√3 / 4. - Thể tích khối chóp M.A’B’C’ bằng 1/3 diện tích đáy A’B’C’ nhân với chiều cao từ M xuống mặt đáy.
Ví dụ 4: Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt (DBC’) và đáy ABCD là 60º.
Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’
- Ta có
BOvuông góc vớiDCtại tâmOcủa hình vuông ABCD. - Góc giữa (DBC’) và đáy là góc
BOC' = 60º. - Chiều cao của lăng trụ:
h = CC' = OC * tan(60º) = (a√2 / 2) * √3 = a√6 / 2. - Diện tích đáy hình vuông:
B = a². - Thể tích khối lăng trụ:
V = B * h = a² * (a√6 / 2) = a³√6 / 2.
Ví dụ 5: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết độ dài đường chéo AC’ là a√3.
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’
- Gọi
xlà độ dài cạnh của hình lập phương. - Xét tam giác AA’C vuông tại A, ta có
AC² = AA'² + A'C². Đường chéo mặt đáyA'C² = x² + x² = 2x². - Xét tam giác AA’C’ vuông tại A’, ta có
AC'² = AA'² + A'C'² = x² + 2x² = 3x². - Theo đề bài,
AC' = a√3, nên(a√3)² = 3x², suy ra3a² = 3x², tức làx = a. - Thể tích của khối lập phương là
V = x³ = a³.
Tính thể tích khối lập phương
Ngoài công thức tính thể tích khối lăng trụ, bạn đọc có thể tìm hiểu thêm về công thức tính thể tích khối tròn xoay và công thức tính diện tích, chu vi hình tròn để mở rộng kiến thức.
